Question

（2011•福建模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ2=

36	4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将曲线C的极坐标方程化为4（ρcosθ）²+9（ρsinθ）²=36，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用参数法设点的坐标，设P（3cosθ，2sinθ），则3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)，根据sin（θ+φ）的最大值，可确定3x+4y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
∴4（ρcosθ）²+9（ρsinθ）²=36
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴4x²+9y²=36
∴

x2

9

+

y2

4

=1；（3分）
（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），
则3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)（6分）
∵θ∈R，
∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为

145

（7分）

点评：本题以曲线的极坐标方程为载体，考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查参数法，解题的关键是利用x=ρcosθ，y=ρsinθ
．