Question

【题目】如图半圆柱OO1的底面半径和高都是1，面ABB1A1是它的轴截面（过上下底面圆心连线OO1的平面），Q，P分别是上下底面半圆周上一点．
（1）证明：三棱锥Q﹣ABP体积VQ﹣ABP≤ ，并指出P和Q满足什么条件时有AP⊥BQ
（2）求二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范围，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：VQ﹣ABP= ，其中h是Q到平面ABP的距离，（由条件及圆柱性质）即平面A1B1Q到ABP的距离且为定值1

由半圆性质∠APB=90°，所以AP2+BP2=4

所以由均值不等式s△ABP= ．

∴VQ﹣ABP= ≤

因为AP⊥PB，要有AP⊥BQ，只需要PQ⊥PA即可！

（2）解：

如图以O为原点、OA为x轴、OO1为z轴建坐标系作QN垂直于平面ABP于N，

记∠AON=θ，θ∈[0，π]

A（1，O，O），B（﹣1，0，0），Q（cosθ，sinθ，0）

平面PAB法向量可取

设平面ABQ的法向量 ， ，

由 ，可取

∴θ∈（0， ]时，|cos＜ ， ＞|=

θ∈（0， ]时，sinθ+ ≥2．（当sinθ=1时取等号）

|cos＜ ， ＞|∈[0， ]，

所以二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范围是：[ ， ]

【解析】（1）由条件及圆柱性质知平面A1B1Q到ABP的距离且为定值1，由半圆性质∠APB=90°，所以AP2+BP2=4 所以由均值不等式s△ABP= ．得VQ﹣ABP= ≤
由AP⊥PB可知，要有AP⊥BQ，只需要PQ⊥PA即可（2）以O为原点、OA为x轴、OO1为z轴建坐标系作QN垂直于平面ABP于N，记∠AON=θ，θ∈[0，π]，A（1，O，O），B（﹣1，0，0），Q（cosθ，sinθ，0）
平面PAB法向量可取
设平面ABQ的法向量 ，可取
θ∈（0， ]时，|cos＜ ， ＞|= 即可求二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范围