Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k
（1）若k=0，证明f（x）＞0
（2）若f（x）≥0，求k的取值范围；并证明此时f（x）的极值存在且与a无关．

Answer 1

【答案】
（1）证明：若k=0，f′（x）= ﹣ = ，

x∈（0， ），f′（x）≥0，f（x）递减，

x∈[ ，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）递增，

故f（x）min=f（ ）=2ln +2﹣2lna=2（1﹣ln2）＞0，得证

（2）证明：若f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k ≥0，

变形得2ln + ≥k ，

令 =t（t＞0），得 ≥k，

g（t）= ，g′（t）= ，

令k（t）=t﹣tlnt﹣1，k′（t）=﹣lnt，

得k（t）=在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，

故k（t）≤0，g′（t）≤0，

g（t）在（0，+∞）递减，t→+∞，g（t）→0，

故g（t）＞0，k≤0，

下面证明f（x）的极值存在且与a无关，

①k=0，f′（x）= ，f（x）极小值=f（ ）=2ln +2﹣2lna=2（1﹣ln2）与a无关；

②k＜0，f′（x）= ，（其中x1= ＜0，x2= ＞0），

故x﹣x1＞0且f（x）在x2处取极小值，

f（x2）=2ln + ﹣k ，

∵x2= ，∴ = 是关于k的函数，（与a无关），

故f（x2）与a无关

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值证明结论即可；（2）问题转化为2ln + ≥k ，令 =t（t＞0），得 ≥k，令g（t）= ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．