Question

【题目】数列{an}中，若存在ak ， 使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个H值．现有如下数列：①an=1﹣2n；②an=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，则存在H值的数列有（ ）个．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由新定义可知，若数列{an}有H值，则数列不是单调数列，且存在k（k≥2，k∈N*），使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立． 对于①an=1﹣2n，该数列为递减数列，不合题意；
对于②an=sinn，取k=2，则sin2＞sin1，且sin2＞sin3，数列存在H值；
对于③an= ，令f（x）= ，f′（x）= ，由f′（x）=0，得x=3．
当x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＞3时，f′（x）＜0，函数为减函数，∴x=3时函数取得极大值，也就是最大值，
则对于数列an= ，有a3＞a2 ， 且a3＞a4 ， 数列存在H值；
对于④an=lnn﹣n，令g（x）=lnx﹣x，g′（x）= ，当x≥1时，g′（x）≤0，数列为递减数列，不合题意．
∴存在H值的数列有2个．
故选：B．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．