Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1时函数f（x）取得极值．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
①证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方；
②证明不等式（2n+1）²＞4ln（n!）恒成立．（注：（n!=1×2×3×…×n））

Answer 1

解：（I）由题可知，函数的定义域为{x|x＞0}，
f′（x）=+2ax-3=，
∵x=1处函数f（x）取得极值
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调增区间为（0，），（1，+∞），函数f（x）的单调减区间为（，1）
（II）①设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F′（x）=-1=
∵当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，从而g（x）的图象恒在f（x）图象的上方
②由①可知，lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1∴lnx＜x恒成立
从而有ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，
累加得ln1+ln2+ln3+…+lnn＜1+2+3+…+n
即ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜
∵
∴即（2n+1）²＞4ln（n!）
分析：（I）先求函数的定义域，然后根据在x=1时函数f（x）取得极值求出a的值，最后根据f′（x）＜0可求出函数的减区间，f′（x）＞0可求出函数的增区间；
（II）①设F（x）=f（x）-g（x），利用导数研究函数F（x）的最大值，从而可判定F（x）的符号，即可证得g（x）的图象恒在f（x）图象的上方；
②由①可知，lnx-x+1≤0，可得lnx＜x恒成立，从而有ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，累加可得ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜，然后利用放缩法可证得结论．
点评：本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题以及不等式的证明，同时考查了计算能力，属于中档题．