Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值点；

（2）设，若函数在 内有两个极值点，求证： .

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（1）求出的导数，并分解因式，对讨论，分， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间，可得所求极值点；（2）求出的解析式和导数，由题意可得有两个不为的正根，运用判别式大于零和韦达定理，可得，化简，由不等式的性质即可得证.

试题解析：（1）∵

①若，由得；由，可得，即函数在上为增函数；由，可得，即函数在上为减函数，所以函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.

②若，由得；由，可得或，即函数在上为增函数；由，可得，即函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.

③若，则，在上大于等于零恒成立，故函数在上单调递增，无极值点.

④ 若，由得；由可得或，所以函数在上为增函数；由，可得，所以函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.

（2），则

记，由题意可知方程即在上有两个不等实数根.所以

解得：

∵

∴