Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

2n-1

2n

，n∈N*，求{b_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，组成方程组，求出首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用条件再写一式，两式相减，结合（1）的结论，即可求{b_n}的通项公式；
（3）利用错位相减法，可求数列{b_n}前n项和T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

----（2分）
解得a₁=1，d=2-----（4分）
∴an=2n-1，n∈N*----（5分）（注：不写n∈N^*扣1分）
（2）由已知

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N*，---①
当n=1时，

b1

a1

=

1

2

，n∈N*；---（6分）
当n≥2时，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn-1

an-1

=1-

1

2n-1

，---②
将①-②，得

bn

an

=1-

1

2n

-(1-

1

2n-1

)=

1

2n

(n≥2)，----（7分）
∴

bn

an

=

1

2n

(n≥2)，
由（1）知an=2n-1，n∈N*，∴bn=

2n-1

2n

(n≥2)------（8分）
∴检验n=1，b1=

1

2

•1=

1

2

，符合，
∴bn=

2n-1

2n

(n∈N*)---（9分）
（3）由已知得Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

----③，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

----④----（10分）
将③-④，得，

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

-----13
∴Tn=3-

2n+3

2n

----（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．