Question

已知函数f（x）=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin²

ωx+φ

2

（ω＞0），0＜φ＜

π

2

）．其图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且过点（

π

6

，

3

2

），则φ

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据对称中心的距离求得周期，则ω可求，最后根据点（

π

6

，

3

2

），求得φ．

解答： 解：f（x）=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin²

ωx+φ

2

=

3

2

sin（ωx+φ）-

cos(ωx+φ)

2

+

1

2

=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

，
∵图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，
∴函数的周期T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ-

π

6

）+

1

2

，
f（

π

6

）=sin（

π

3

+φ-

π

6

）+

1

2

=

3

2

，
∴sin（φ+

π

6

）=1，
∴φ+

π

6

=2kπ+

π

2

，
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数性质和图象的熟练记忆．