Question

如图所示椭圆中，P为椭圆上一点，F为其一个焦点，PF为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F、F'分别是椭圆的左右焦点，作出以PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x²+y²=a²，如图所示．设PF的中点为M，连结PF'，利用三角形中位线定理与椭圆的定义，证出|OM|=

1

2

|PF'|=a-

1

2

|PF|，得到两圆的圆心距等于它们半径之差，从而得到两圆的位置关系是相内切．

解答： 解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F、F'分别是椭圆的左右焦点，
作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x²+y²=a²，如图所示．
设PF中点为M，连结PF'，
∴OM是△PFF'的中位线，可得|OM|=

1

2

|PF'|，即两圆的圆心距为

1

2

|PF'|
根据椭圆定义，可得|PF|+|PF'|=2a，
∴圆心距|OM|=

1

2

|PF'|=

1

2

（2a-|PF|）=a-

1

2

|PF|，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，
因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x²+y²=a²相内切．
故答案为：内切．

点评：本题给出椭圆以一条焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆，求两圆的位置关系．着重考查了圆与圆的位置关系及其证明、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．