Question

已知向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），

m

•

n

=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等差数列，且

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求c边的长及△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出；
（2）利用等差数列的定义、正弦余弦定理、数量积运算即可得出．

解答： 解：（1）

m

•

n

=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin2C，
∴sinC=sin2C=2sinCcosC，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．
（2）∵sinA，sinB，sinC成等差数列，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可知a+b=2c，
又∵

CA

•（

AB

-

AC

）=18，
∴

CA

•

CB

=18，∴abcos

π

3

=18，即ab=36．
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=4c²-108，
∴c²=36，解得c=6．
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×36×

3

2

=9

3

．

点评：本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、等差数列的定义、正弦余弦定理、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．