Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1•a_n+a_n+1-a_n=0
（Ⅰ）证明：数列{

1

an

}为等差数列，并求a_n；
（Ⅱ）设b_n=a_n•a_n+2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）求证：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：证明题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）两边同除以a_na_n+1，即得

1

an+1

-

1

an

=1，根据等差数列的定义，可得证，且求出a_n；
（Ⅱ）运用裂项相消求和，运用

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），即可得到；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得到数列{S_n}为递增数列，且得到S_n＜

3

4

，即可得证．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+1•a_n+a_n+1-a_n=0，
∴1+

1

an

-

1

an+1

=0
即

1

an+1

-

1

an

=1
∴{

1

an

}为等差数列，

1

a1

=1，
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=

1

n

；
（Ⅱ）解：∵b_n=

1

n(n+2)

，
∴S_n=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

；
（Ⅲ）证明：∵

2n+3

2(n+1)(n+2)

＞0，
∴S_n＜

3

4

，
∵S_n-S_n-1=b_n＞0，
∴{S_n}为递增数列，
∴S_n≥S₁=

1

3

，
∴

1

3

≤Sn＜

3

4

．

点评：本题主要考查数列的通项和求和，考查等差数列的通项求法，以及裂项相消求和方法，同时考查数列的单调性，是一道综合题．