Question

已知正实数a、b、c满足a²+4b²+c²=3．
（Ⅰ）求a+2b+c的最大值；
（Ⅱ）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）由条件利用柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²，即9≥（a+2b+c）²．再根据a、b、c为正实数，求得a+2b+c的最大值．
（Ⅱ）由题意可得|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max=3，可得 

x＜1 (5-x)-(1-x) ≥3

①；或

1≤x＜5 (5-x)-(x-1)≥3

②；或

x≥5 (x-5)-(x-1)≥3

③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（I）∵a²+4b²+c²=3，由柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²，
故有 9≥（a+2b+c）²．
再根据a、b、c为正实数，∴a+2b+c≤3，即a+2b+c的最大值为3．
（Ⅱ）∵a、b、c为正实数，不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，
∴|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max=3，
∴

x＜1 (5-x)-(1-x) ≥3

①；或

1≤x＜5 (5-x)-(x-1)≥3

②；或

x≥5 (x-5)-(x-1)≥3

③．
解①求得x＜1，解②求得1≤x≤

3

2

，解③求得 x∈∅，
综上可得，实数x的取值范围为（-∞，

3

2

]．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．