Question

函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），当P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．?
（Ⅰ）求函数y=g（x）的解析式；?
（Ⅱ）当x∈[a+3，a+4]时，恒有f（x）-g（x）≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上点，Q（x，y），由此能求出函数y=g（x）的解析式．
（Ⅱ）令∅（x）=f（x）-g（x）=log_a[（x-2a）（x-3a）]=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，由

x-2a＞0 x-3a＞0

，得x＞3a，所以函数∅（x）=（x-

5a

2

）²-

a2

4

在区间[a+3，a+4]上单调递增，由此能求出a的取值范围为（0，1）．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上点，Q（x，y），则

x=x0-a y=-y0

，
∴

x0=x+a y0=-y

，∴-y=log_a（x+a-3a），∴y=log_a

1

x-2a

 （x＞2a）．（5分）
（Ⅱ）令∅（x）=f（x）-g（x）=log_a[（x-2a）（x-3a）]=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，
由

x-2a＞0 x-3a＞0

，得x＞3a，由题意知a+3＞3a，故a＜

3

2

，
从而（a+3）-

5a

2

=

3

2

(a-2)＞0，
故函数∅（x）=（x-

5a

2

）²-

a2

4

在区间[a+3，a+4]上单调递增，（8分）
①若0＜a＜1，则∅（x）在区间[a+3，a+4]是单调递减，
∴∅（x）在[a+3，a+4]上的最大值为∅（a+3）=loga(2a2-9a+9)，
在区间[a+3，a+4]上不等式f9x）≤1恒成立，
等价于不等式loga(2a2-9a+9)≤1成立，
从而2a²-9a+9≥a，解得a≥

5+ 7

2

或a≤

5- 7

2

，
结合0＜a＜1．得0＜a，1．
（2）若1＜a＜

3

2

，则∅（x）在区间[a+3，a+4]上单调递增，
∴∅（a+3，a+4]上的最大值为∅（a+4）=loga(2a2-12a+16)，
在[a+3，a+4]上不等式∅（x）≤1恒成立．
等价于不等式loga(2a2-12a+16)≤1成立，
从而2a²-12a+16≤a，即2a²-13a+16≤0，解得

13- 41

4

＜a≤

13+ 41

4

．
∵

13- 41

4

＞

3

2

，∴不符合．（14分）
综上可知：a的取值范围为（0，1）．（15分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．