Question

设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．
（Ⅰ）设X表示一周5天内机器发生故障的天数，求X的分布列；
（Ⅱ）以Y表示一周内所获利润，则一周内利润的期望是多少？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X-B（5，0.2），由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）以Y表示一周内所获利润，则y=g（X）=

10，X=0 5，X=1 0，X=2 -2，X≥3

，一周内利润的期望值．

解答： 解：（Ⅰ）以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X-B（5，0.2），
P（X=k）=

C

k 5

0．2k0．85-k，k=0，1，2，3，4，5，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
p	0.32768	0.4096	0.2048	0.0512	0.0064	0.00032

（Ⅱ）以Y表示一周内所获利润，
则y=g（X）=

10，X=0 5，X=1 0，X=2 -2，X≥3

，
P（Y=10）=P（X=0）=0.32768，
P（Y=5）=P（X=1）=0.4096，
P（Y=0）=P（X=2）=0.2048，
P（Y=-2）=P（X≥3）=0.0512+0.0064+0.00032=0.05792，
∴一周内利润的期望为：
EY=10×0.32768+5×0.4096+（-2）×0.05792=5.20896（万元）．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．