Question

已知向量

a

=（8cosα，2），

b

=（sinα-cosα，3），设函数f（α）=

a

•

b

．
（1）求函数f（α）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量的综合题

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用平面向量的数量积运算列出f（x）解析式，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值；
（2）根据（1）确定出的函数解析式以及f（A）=6，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c与bc，cosA的值代入即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（8cosα，2），

b

=（sinα-cosα，3），
∴f（α）=

a

•

b

=8cosα（sinα-cosα）+6=8sinαcosα-8cos²α+6=4sin2α-8×

1+cos2α

2

+6=4sin2α-4cos2α+2=4

2

sin（2α-

π

4

）+2，
∵-1≤sin（2α-

π

4

）≤1，即-4

2

+2≤4

2

sin（2α-

π

4

）+2≤4

2

+2，
则f（α）的最大值为4

2

+2；
（2）根据题意得：f（A）=4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，即sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
解得：A=

π

4

或

π

2

，
当A=

π

4

时，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，即bc=6

2

，
∵b+c=2+3

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc=22+12

2

-12

2

-12=10，
此时a=

10

；
当A=

π

2

时，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，即bc=6，
∵b+c=2+3

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc=22+12

2

-12-6

2

=10-6

2

，
此时a=

10-6 2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．