Question

下列命题中，假命题的是（　　）

• A、?x₀∈R，sinx₀+

  3

  cosx₀=2
• B、?x∈[0，+∞），e^x-x＞0
• C、?x₀∈（0，+∞），lgx₀=-1
• D、?x∈（-∞，0]，2x²-3x-2＞0

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：A．由sinx₀+

3

cosx₀=2化为sin(x0+

π

6

)=1，可得x0=2kπ+

π

3

（k∈Z）；
B．令f（x）=e^x-x，利用导数研究函数f（x）当x≥0时的单调性即可；
C．由lg

1

10

=-1，即可判断出；
D．由2x²-3x-2=2(x-

3

4

)2-

25

8

，知函数f（x）=2x²-3x-2在（-∞，0]上单调递减，因此f（x）≥f（0）=-2．

解答： 解：A．由sinx₀+

3

cosx₀=2化为sin(x0+

π

6

)=1，∴x0=2kπ+

π

3

（k∈Z），因此正确；
B．令f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1，当x≥0时，f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1＞0，因此正确；
C．∵lg

1

10

=-1，∴C正确；
D．∵2x²-3x-2=2(x-

3

4

)2-

25

8

，∴函数f（x）=2x²-3x-2在（-∞，0]上单调递减，∴f（x）≥f（0）=-2．因此不正确．
综上可得：只有D不正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了指数函数、对数函数、三角函数、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．