Question

已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+…+a_n=n-a_n，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）令b_n=（2-n）（a_n-1），求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的函数特性

专题：计算题,转化思想

分析：（1）利用等比数列的定义证明数列{a_n-1}为等比数列并求得通项公式；
（2）由（1）求得数列{b_n}的通项公式，根据通项公式分析求解数列{b_n}的最大项．

解答： （1）证明：当n=1时，a₁=1-a₁，∴a1=

1

2

，
又a₁+a₂+…+a_n+1=n+1-a_n+1
∴a_n+1=1-a_n+1+a_n，即2a_n+1=1+a_n，∴an+1-1=

1

2

(an-1)，又a1-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列；
（2）解：由（1）知，an-1=(-

1

2

)×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴bn=(2-n)•(an-1)=

n-2

2n

，
∴bn+1-bn=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

3-n

2n+1

，
当n＜3时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，当n=3时，b₄=b₃，
当n＞3时，b_n+1-b_n＜0，即b₄＞b₅＞b₆＞…；
∴数列{b_n}的最大项为b4=b3=

1

8

．

点评：本题考查了等比数列的判定及应用，考查了学生的推理论证能力及运算能力，解题的关键是求得数列{a_n-1}的通项公式及数列{b_n}的通项公式，解题要认真细心．