Question

设函数f（x）=

|x+1|+|x+2|-a

（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）a=5时，f(x)=

|x+1|+|x+2|-5

，即|x+1|+|x+2|-5≥0，讨论x的取值，去掉绝对值，求出x的取值范围；
（2）由题意|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立，即a≤|x+1|+|x+2|，求出|x+1|+|x+2|的最小值，即得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=5时，f(x)=

|x+1|+|x+2|-5

，
∵|x+1|+|x+2|-5≥0，
∴

x≥-1 2x-2≥0

，或

-2≤x＜-1 -2≥0

，或

x＜-2 -8-2x≥0

，
解得x≥1，或x≤-4；
∴函数f（x）的定义域为{x|x≥1，或x≤-4}；（5分）
（2）根据题意，|x+1|+|x+2|-a≥0恒成立，
即a≤|x+1|+|x+2|恒成立，
又∵|x+1|+|x+2|≥|（x+1）-（x+2）|=1，
∴a≤1，
即a的取值范围为（-∞，1]．（10分）

点评：本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，解题时应对绝对值进行讨论，以便去掉绝对值，是基础题．