如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知,,,.
(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;
(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.
(III)在上是否存在两个不同的点,,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.
解:(I)如图,,,,
由三垂线定理逆定理知,,所以是
山坡与所成二面角的平面角,则,
.
设,.则
.
记总造价为万元,
据题设有
当,即时,总造价最小.
(II)设,,总造价为万元,根据题设有
.
则,由,得.
当时,,在内是减函数;
当时,,在内是增函数.
故当,即(km)时总造价最小,且最小总造价为万元.
(III)解法一:不存在这样的点,.
事实上,在上任取不同的两点,.为使总造价最小,显然不能位于 与之间.故可设位于与之间,且=,,,总造价为万元,则.类似于(I)、(II)讨论知,,,当且仅当,同时成立时,上述两个不等式等号同时成立,此时,,取得最小值,点分别与点重合,所以不存在这样的点 ,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价.
解法二:同解法一得
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当且仅当且,即同时成立时,取得最小值,以上同解法一.
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科目:高中数学 来源:湖南省高考真题 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2007年湖南省高考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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