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如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为万元/km、当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),
(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(II)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.
(III)在AB上是否存在两个不同的点D',E',使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论、

【答案】分析:对于(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小.这是一个实际应用题,需要先把复杂的图形转化为清晰的几何图形,然后设BD=x(km).根据几何关系列出总造价为f1(x)的函数表达式,再根据配方法求出最小值即为所求.
对于(II)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.设AE=y(km),,总造价为f2(y)万元,求出总造价的f2(y)的函数表达式,求出其导函数的方法,通过判断在区间上正负问题,讨论区间单调性.然后根据单调性求极值即可得到答案.
解答:解:(I)如图,PH⊥α,HB?α,PB⊥AB,
由三垂线定理逆定理知,AB⊥HB,
所以∠PBH是山坡与α所成二面角的平面角,
则∠PBH=θ,
设BD=x(km),0≤x≤1.5,
∈[1,2].
记总造价为f1(x)万元,
据题设有=
,即时,总造价f1(x)最小.
(II)设AE=y(km),,总造价为f2(y)万元,
根据题设有=
,由f2(y)=0,得y=1.
当y∈(0,1)时,f2(y)<0,f2(y)在(0,1)内是减函数;
时,f2(y)>0,f2(y)在内是增函数.
故当y=1,即AE=1(km)时总造价f2(y)最小,且最小总造价为万元.
点评:此题主要考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值,利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,解题的关键是求导要精确.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且sinθ=
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,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为
a
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万元/km、当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=
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(km)

(Ⅰ)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(Ⅱ)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.
(Ⅲ)在AB上是否存在两个不同的点D′,E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(Ⅱ)中得到的最小总造价,证明你的结论、
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且数学公式,点P到平面α的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为数学公式万元/km、当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元、已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),数学公式
(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小;
(II)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.
(III)在AB上是否存在两个不同的点D',E',使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论、

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科目:高中数学 来源:湖南省高考真题 题型:解答题

如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°),且sinθ=,点P到平面α的距离PH=0.4(km)。沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用,从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为万元/km。当山坡上公路长度为lkm(1≤l≤2)时,其造价为(l2+1)a万元。已知OA⊥AB,PB⊥AB,AB=1.5(km),OA=(km),
(Ⅰ)在AB上求一点D,使沿折线PDAD修建公路的总造价最小;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小;
(Ⅲ)在AB上是否存在两个不同的点D′、E′,使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(Ⅱ)中得到的最小总造价,证明你的结论。

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,某地为了开发旅游资源,欲修建一条连接风景点和居民区的公路,点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为),且,点到平面的距离(km).沿山脚原有一段笔直的公路可供利用.从点到山脚修路的造价为万元/km,原有公路改建费用为万元/km.当山坡上公路长度为km()时,其造价为万元.已知

(I)在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小;

(II) 对于(I)中得到的点,在上求一点,使沿折线修建公路的总造价最小.

(III)在上是否存在两个不同的点,使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论.

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