Question

【题目】已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 = （其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设直线AB的方程为：x=my+t，A（ ，y1）、B（ ，y2），
联立 得y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，与y1y2=﹣4t，
由 得： y1y2=﹣18或y1y2=2（舍）．
即 ，所以直线AB过定点 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 = ，
同理得， = ，
则四边形AGBD面积
= ，
令 ，
则 是对称轴为μ＜0，开口向上，函数是关于μ的增函数，当μ=2时函数取得最小值．
故Smin=88．
当且仅当m=1时取到最小值88
【解析】（Ⅰ）设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用数量积为0，求出k，化简直线方程推出直线必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，通过换元法，利用函数的单调性求解最小值即可．