【题目】已知极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线C1:ρ=1, (t为参数).
(Ⅰ)求曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值;
(Ⅱ)若把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍,纵坐标扩大为原来的 倍,得到曲线
.设P(﹣1,1),曲线C2与
交于A,B两点,求|PA|+|PB|.
【答案】解:(Ⅰ)∵曲线C1:ρ=1,∴曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2=1, ∴圆心为(0,0),半径为r=1, (t为参数)消去参数t的C2:y=x+2,
∴圆心到直线距离d= ,
∴曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值为 .
(Ⅱ)∵把C1上各点的横坐标都扩大为原来的2倍,纵坐标扩大为原来的 倍,得到曲线
.
∴伸缩变换为 ,∴曲线
:
=1,
(t为参数)代入曲线
,整理得
.
∵t1t2<0,
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=
【解析】(Ⅰ)求出曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2=1,C2:y=x+2,再求出圆心到直线距离,由此能求出曲线C1上的点到曲线C2距离的最小值.(Ⅱ)伸缩变换为 ,从而曲线
:
=1,
(t为参数)代入曲线
,得
.由此能求出|PA|+|PB|.
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【题目】中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点,F1(﹣c,0),F2(c,0),P为C1与C2在第一象限的交点,|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5,若椭圆C1的离心率 ,则双曲线的离心率e2的范围是( )
A.
B.
C.(2,3)
D.
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【题目】已知双曲线的焦点是椭圆
的顶点,
为椭圆
的左焦点且椭圆
经过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右顶点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
,连结
并延长
交椭圆
于点
,当
的面积取得最大值时,求
的面积.
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【题目】在抛物线y=x2与直线y=2围成的封闭图形内任取一点A,O为坐标原点,则直线OA被该封闭图形解得的线段长小于 的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线E:y2=4x,设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且
=
(其中O为坐标原点)
(Ⅰ)求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;
(Ⅱ)过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点,求四边形AGBD面积的最小值.
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