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若正数a,b,c满足a+b+c=1,

(1)求证:a2+b2+c2<1.

(2)++的最小值.

 

(1)见解析 (2)

【解析】(1)由已知易得0<a,b,c<1,a-a2=a(1-a)>0,a>a2.

同理可得b>b2,c>c2,a2+b2+c2<a+b+c=1,

由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(1+1+1)(a+b+c)2=1(当且仅当a=b=c时取“=),

即有a2+b2+c2(a=b=c=时取“=),

综上有a2+b2+c2<1.

(2)a+b+c=1,

可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,

2a+1,2b+1,2c+1均为正数,

++=(++)(2a+1+2b+1+2c+1),

由柯西不等式可得(++)(2a+1+2b+1+2c+1)

(++

)2=9(当且仅当a=b=c时取“=),

++的最小值为,

等号当且仅当a=b=c=时取到.

 

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