若正数a,b,c满足a+b+c=1,
(1)求证:≤a2+b2+c2<1.
(2)求++的最小值.
(1)见解析 (2)
【解析】(1)由已知易得0<a,b,c<1,则a-a2=a(1-a)>0,即a>a2.
同理可得b>b2,c>c2,则a2+b2+c2<a+b+c=1,
由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(1+1+1)≥(a+b+c)2=1(当且仅当a=b=c时取“=”),
即有a2+b2+c2≥(当a=b=c=时取“=”),
综上有≤a2+b2+c2<1.
(2)由a+b+c=1,
可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,
且2a+1,2b+1,2c+1均为正数,
则++=(++)(2a+1+2b+1+2c+1),
由柯西不等式可得(++)(2a+1+2b+1+2c+1)
≥(++
)2=9(当且仅当a=b=c时取“=”),
故++的最小值为,
等号当且仅当a=b=c=时取到.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业六十二第九章第三节练习卷(解析版) 题型:选择题
如图是总体密度曲线,下列说法正确的是( )
(A)组距越大,频率分布折线图越接近于它
(B)样本容量越小,频率分布折线图越接近于它
(C)阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比
(D)阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业六十七第十章第四节练习卷(解析版) 题型:选择题
在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路公共汽车、6路公共汽车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )
(A)0.12 (B)0.20 (C)0.60 (D)0.80
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业六十一第九章第二节练习卷(解析版) 题型:选择题
用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业八十一选修4-5第三节练习卷(解析版) 题型:解答题
已知a,b,c,d均为正实数,且a+b+c+d=1,求证:+++≥.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十第八章第一节练习卷(解析版) 题型:填空题
若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十四第八章第五节练习卷(解析版) 题型:填空题
已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,以原点O为圆心,OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率等于 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十五第八章第六节练习卷(解析版) 题型:填空题
已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为_______.
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