Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，C=2A，则cosC=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 已知第一个等式利用正弦定理化简，把第二个等式变形后代入，利用二倍角的正弦函数公式化简求出cos$\frac{C}{2}$的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简，把cos$\frac{C}{2}$的值代入计算即可求出值．

解答 解：把$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，利用正弦定理化简得：$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{3}{2}$，
把C=2A，即A=$\frac{1}{2}$C代入得：$\frac{sinC}{sin\frac{C}{2}}$=$\frac{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=2cos$\frac{C}{2}$=$\frac{3}{2}$，即cos$\frac{C}{2}$=$\frac{3}{4}$，
则cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{8}$，
故答案为：$\frac{1}{8}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．