Question

13．已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．若△AGM的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，则△AGN的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{24}$．

Answer 1

分析 设∠AGM=α，由已知可得AG，∠MAG的值，由正弦定理可得得GM=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α+\frac{π}{6}）}$，由S_AGM=$\frac{1}{2}$GM•GA•sinα=$\frac{1}{6（\sqrt{3}+cotα）}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，解得：cot$α=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又利用正弦定理可得GN=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α-\frac{π}{6}）}$，则可求S_AGN=$\frac{1}{2}$GN•GA•sin（π-α）=$\frac{1}{6（\sqrt{3}-cotα）}$的值．

解答 解：因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠MAG=$\frac{π}{6}$
由正弦定理$\frac{GM}{sin\frac{π}{6}}=\frac{GA}{sin（π-α-\frac{π}{6}）}$，得GM=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α+\frac{π}{6}）}$，．
 则S_AGM=$\frac{1}{2}$GM•GA•sinα=$\frac{sinα}{12sin（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{1}{6（\sqrt{3}+cotα）}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，解得：cot$α=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$\frac{GN}{sin\frac{π}{6}}=\frac{GA}{sin（α-\frac{π}{6}）}$，得GN=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α-\frac{π}{6}）}$，
则S_AGN=$\frac{1}{2}$GN•GA•sin（π-α）=$\frac{sinα}{12sin（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{1}{6（\sqrt{3}-cotα）}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{24}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{24}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的综合应用，将△AGM、△AGN的面积表示为α的函数是解题的关键，属于中档题．