Question

3．已知f（x）=x²-（a-1）x+ab．
（1）当a=2，b=1时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若对任意的正实数a，函数f（x）总有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a，b的值代入，解不等式即可；（2）问题转化为b≤$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性质求出即可．

解答 解：（1）当a=2，b=1时，f（x）=x²-x+2＞0，
∴不等式f（x）＜0无解；
（2）若函数f（x）总有零点，
则△=（a-1）²-4ab≥0，
∴b≤$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$，而$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{a}{4}•\frac{1}{4a}}$-$\frac{1}{2}$=0，
∴b≤0．

点评 本题考查了解不等式问题，考查函数恒成立问题，基本不等式的性质的应用，是一道基础题．