Question

18．（1）已知${C}_{15}^{3x-2}$=${C}_{15}^{x+1}$，求${C}_{10}^{x-1}$的值；
（2）若（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N）的展开式中第3项为常数项，求n．

Answer 1

分析 （1）由已知${C}_{15}^{3x-2}$=${C}_{15}^{x+1}$，可得3x-2=x+1 或3x-2+（x+1）=15，求得x的值，可得 ${C}_{10}^{x-1}$ 的值．
（2）根据（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ 的展开式中第3项为${C}_{n}^{2}$•${x}^{\frac{n-8}{3}}$，为常数项，可得$\frac{n-8}{3}$=0，由此求得n的值．

解答 解：（1）：由已知${C}_{15}^{3x-2}$=${C}_{15}^{x+1}$，可得3x-2=x+1 或3x-2+（x+1）=15，求得x=4．
∴${C}_{10}^{x-1}$=${C}_{10}^{3}$=120．
（2）由于（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ 的展开式中第3项为T₃=${C}_{n}^{2}$•${x}^{\frac{n-8}{3}}$ 为常数项，可得$\frac{n-8}{3}$=0，
求得n=8．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．