Question

8．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{2}$-x），给出下列四个说法：
①若x₁=-x₂，则f（x₁）=-f（x₂）；       
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数；       
④f（x）的图象关于直线x=$\frac{3π}{4}$对称．
其中正确说法的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 化简函数f（x）=cosxsinx为：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，利用奇函数判断①的正误；周期公式可求周期判断②的正误；利用单调性判断③，对称性判断④的正误即可．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{π}{2}$-x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
因为它是奇函数，f（x₁）=f（-x₂）=-f（x₂），所以①正确；
∵f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}=π$，②不正确；
③利于2k$π-\frac{π}{2}$≤2x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是增函数；正确；
④当x=$\frac{3π}{4}$时f（x）取得了最小值，故x=$\frac{3π}{4}$是对称轴，所以正确．
故选：B．

点评 本题是基础题，考查三角函数式的化简，基本函数的性质，掌握基本函数的性质是本题解答的根据，强化基本知识的学习，才能提高数学知识的应用．