Question

19．已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极大值；
（Ⅱ）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$$＞\frac{n}{m}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值；
（2）问题转化为$\frac{m}{m-1}$lnm＞$\frac{n}{n-1}$lnn，设g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，（x＞1），通过讨论g（x）的单调性，从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，x∈（0，+∞），
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0得：x=$\frac{1}{a}$，
当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，
所以f（x）的极大值为：f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1+1=-lna，
综上：当a≤0时f（x）无极大值；当a＞0时f（x）的极大值为-lna．
（2）当m＞n＞1，（m．n∈Z）时，
$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{n}{m}$
?$\frac{1}{m}$lnn-$\frac{1}{n}$lnm＞lnn-lnm
?$\frac{n-1}{n}$lnm＞$\frac{m-1}{m}$lnn
?$\frac{m}{m-1}$lnm＞$\frac{n}{n-1}$lnn，
设g（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，（x＞1），
则g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$
由（1）知：当a=1时，
函数f（x）=lnx-x+1的极大值也是最大值为：f（1）=-ln1=0，
所以f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即：lnx≤x-1，
所以g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$＞0，（x＞1），
故g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故$\frac{m}{m-1}$lnm＞$\frac{n}{n-1}$lnn成立，
即$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{n}{m}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查函数恒成立问题，是一道中档题．