Question

3．已知曲线C：y=3x²，点A（0，-3）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是[-21，15]．

Answer 1

分析 由题意知直线AB和曲线C的关系是：相切或没有公共点，写出直线AB的方程y=$\frac{a+3}{3}x-3$，联立曲线C的方程并消去y得到：$3{x}^{2}-\frac{a+3}{3}x+3=0$，该方程有唯一解或无解，从而△≤0，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：如图，
要使视线不被C挡住，则直线AB和C没有公共点或相切；
直线AB的方程为$y=\frac{a+3}{3}x-3$；
∴方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a+3}{3}x-3}\\{y=3{x}^{2}}\end{array}\right.$有唯一解或无解；
∴$3{x}^{2}-\frac{a+3}{3}x+3=0$有唯一解或无解；
∴$△=（\frac{a+3}{3}）^{2}-36≤0$；
解得-21≤a≤15；
∴实数a的取值范围是[-21，15]．
故答案为：[-21，15]．

点评 考查数形结合解题的方法，清楚直线和曲线的位置关系同直线方程与曲线方程形成方程组解的对应关系，直线的点斜式方程，以及一元二次方程解的情况和判别式△取值的关系．