【题目】已知函数有两个零点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2是的两个零点,证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析
【解析】
试题(Ⅰ)求导,根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的结论来证明,由单调性可知等价于
,即
.设
,则
.则当
时,
,而
,故当
时,
.从而
,故
.
试题解析:(Ⅰ).
(Ⅰ)设,则
,
只有一个零点.
(Ⅱ)设,则当
时,
;当
时,
.所以
在
单调递减,在
单调递增.
又,
,取
满足
且
,则
,
故存在两个零点.
(Ⅲ)设,由
得
或
.
若,则
,故当
时,
,因此
在
单调递增.又当
时
,所以
不存在两个零点.
若,则
,故当
时,
;当
时,
.因此
在
单调递减,在
单调递增.又当
时,
,所以
不存在两个零点.
综上,的取值范围为
.
(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知
,
,
在
单调递减,所以
等价于
,即
.
由于,而
,所以
.
设,则
.
所以当时,
,而
,故当
时,
.
从而,故
.
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【题目】已知椭圆C:的长轴长为4,离心率为
,点P在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点M (4,0),点N(0,n),若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点,求n的取值范围.
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【题目】现代社会的竞争,是人才的竞争,各国、各地区、各单位都在广纳贤人,以更好更快的促进国家、地区、单位的发展.某单位进行人才选拔考核,该考核共有三轮,每轮都只设置一个项目问题,能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核;不能正确解决者即被淘汰.三轮的项目问题都正确解决者即被录用.已知A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为、
、
,且各项目问题能否正确解决互不影响.
(1)求A选手被淘汰的概率;
(2)设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为,求
的分布列与数学期望.
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【题目】对于数列,称
(其中
)为数列
的前k项“波动均值”.若对任意的
,都有
,则称数列
为“趋稳数列”.
(1)若数列1,,2为“趋稳数列”,求
的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比
,求证:
是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前
项的和为
. 且对任意
,都有
, 试计算:
(
).
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【题目】已知椭圆C:l(a>b>0)经过点(
,1),且离心率e
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于AB两点,且满足∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.
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【题目】设数列满足
,其中A,B是两个确定的实数,
(1)若,求
的前n项和;
(2)证明:不是等比数列;
(3)若,数列
中除去开始的两项外,是否还有相等的两项,并证明你的结论.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
满足
,且
.正项数列
满足
,其前7项和为42.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)令,数列
的前
项和为
,若对任意正整数
,都有
,求实数
的取值范围;
(3)将数列,
的项按照“当
为奇数时,
放在前面;当
为偶数时,
放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,…,求这个新数列的前
项和
.
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【题目】如图,已知为等边三角形,
为等腰直角三角形,
.平面
平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且
,
.点F为AD中点,连接EF.
(1)求证:平面ABC;
(2)求证:平面平面ABD.
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【题目】2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出,1952年~2018年,我国GDP查679.1亿元跃升至90.03万亿元,实际增长174倍;人均GDP从119元提高到6.46万元,实际增长70倍.全国各族人民,砥砺奋进,顽强拼搏,实现了经济社会的跨越式发展.如图是全国2010年至2018年GDP总量(万亿元)的折线图.
注:年份代码1~9分别对应年份2010~2018.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与年份代码
的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立关于
的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年全国GDP的总量.
附注:参考数据:,
,
,
.
参考公式:相关系数;
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
,
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