【题目】已知函数,
为
的导数.证明:
(1)在区间
存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)求得导函数后,可判断出导函数在上单调递减,根据零点存在定理可判断出
,使得
,进而得到导函数在
上的单调性,从而可证得结论;(2)由(1)的结论可知
为
在
上的唯一零点;当
时,首先可判断出在
上无零点,再利用零点存在定理得到
在
上的单调性,可知
,不存在零点;当
时,利用零点存在定理和
单调性可判断出存在唯一一个零点;当
,可证得
;综合上述情况可证得结论.
(1)由题意知:定义域为:
且
令,
,
在
上单调递减,
在
上单调递减
在
上单调递减
又,
,使得
当
时,
;
时,
即在
上单调递增;在
上单调递减
则为
唯一的极大值点
即:在区间
上存在唯一的极大值点
.
(2)由(1)知:,
①当时,由(1)可知
在
上单调递增
在
上单调递减
又
为
在
上的唯一零点
②当时,
在
上单调递增,在
上单调递减
又
在
上单调递增,此时
,不存在零点
又
,使得
在
上单调递增,在
上单调递减
又,
在
上恒成立,此时不存在零点
③当时,
单调递减,
单调递减
在
上单调递减
又,
即,又
在
上单调递减
在
上存在唯一零点
④当时,
,
即在
上不存在零点
综上所述:有且仅有
个零点
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】据《人民网》报道,“美国国家航空航天局( NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的42%来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)
单位:公顷
造林方式 | ||||||
地区 | 造林总面积 | 人工造林 | 飞播造林 | 新封山育林 | 退化林修复 | 人工更新 |
内蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 135107 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重庆 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陕西 | 297642 | 33602 | 63865 | 16067 | ||
甘肃 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
宁夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 |
(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少?
(Ⅲ)在这十个地区中,从新封山育林面积超过五万公顷的地区中,任选两个地区,记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数,求X的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,请列举出所有基本事件,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,O为极点,点在曲线
上,直线l过点
且与
垂直,垂足为P.
(1)当时,求
及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线,为直线
上的动点,过
作
的两条切线,切点分别为
.
(1)证明:直线过定点:
(2)若以为圆心的圆与直线
相切,且切点为线段
的中点,求该圆的方程.
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