Question

【题目】已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论.

（1）由题意知：定义域为：且

令，

，

在上单调递减，在上单调递减

在上单调递减

又，

，使得

当时，；时，

即在上单调递增；在上单调递减

则为唯一的极大值点

即：在区间上存在唯一的极大值点.

（2）由（1）知：，

①当时，由（1）可知在上单调递增

在上单调递减

又

为在上的唯一零点

②当时，在上单调递增，在上单调递减

又

在上单调递增，此时，不存在零点

又

，使得

在上单调递增，在上单调递减

又，

在上恒成立，此时不存在零点

③当时，单调递减，单调递减

在上单调递减

又，

即，又在上单调递减

在上存在唯一零点

④当时，，

即在上不存在零点

综上所述：有且仅有个零点