Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（0）=1，b=-a-1，解关于x不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）的最小值为0，且a＜b，设

b

a

=t，请把

a+b+c

b-a

表示成关于t的函数g（t），并求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，可得f（x）=（x-1）（ax-1）下面由分类讨论可得；
（2）由题意可的a＞0且

4ac-b2

4a

=0，易得g（t）=

t2+4t+4

4(t-1)

（t＞1），然后变形为

t-1

4

+

9

4(t-1)

+

3

2

，由基本不等式可得答案．

解答：解：（1）由题意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，
所以f（x）=ax²+bx+c=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）．
当a＞1时，不等式的解集为：{x|

1

a

＜x＜1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为：{x|1＜x＜

1

a

}；
当a＜0时，不等式的解集为：{x|x＜

1

a

或x＞1}；
当a=1时，不等式的解集为空集．
（2）因为f（x）的最小值为0，所即b²=4ac
由因为

b

a

=t，故b=at，c=

at2

4

，故

a+b+c

b-a

=

a+at+ at2 4

at-a

=

t2+4t+4

4(t-1)

，又因为a＜b，所以

b

a

=t＞1故g（t）=

t2+4t+4

4(t-1)

（t＞1）
所以g（t）=

t2+4t+4

4(t-1)

=

(t-1)2+6(t-1)+9

4(t-1)

=

t-1

4

+

9

4(t-1)

+

3

2

≥2

t-1 4 • 9 4(t-1)

+

3

2

=3，当且仅当

t-1

4

=

9

4(t-1)

，即t=4时取等号
故g（t）的最小值为3

点评：本题为二次函数，二次不等式，基本不等式的综合应用，涉及分类讨论的思想，属基础题．