Question

设函数f（x）=

1+4x

2x

．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析：（1）由偶函数的定义，证明f（-x）=f（x）即可；
（2）由单调性定义，任取定义域内x₁＞x₂，证明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
∴f（-x）=

1+4-x

2-x

=

(1+4-x)•4x

2-x•4x

=

1+4x

2x

=f（x），所以f（x）为偶函数．
（2）设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）-f（x₂）=

1+4x1

2x1

-

1+4x2

2x2

=

(1+4x1)2x2-(1+4x2)2x1

2x1•2x2

=

(2x2-2x1)+(4x1•2x2-4x2•2x1)

2x1•2x2

=

(2x2-2x1)+2x1•2x2(2x1-2x2)

2x1•2x2

=

(2x2-2x1)(1-2x1+x2)

2x1•2x2

，
由于x₁＞x₂＞0，所以2x2-2x1＜0；1-2x1+x2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定，根据定义可以解答题目，属于基础题．