Question

2．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，（x∈R）．且f（x）为奇函数，
（1）求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数，且满足f（x-1）+f（x）＜0，求x 的取值集合．

Answer 1

分析 （1）因为x∈R，所以在实属范围内任取一个x值代入已知函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．
（2）利用奇函数的定义得到-f（x）=f（-x），结合已知条件函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数，且满足f（x-1）+f（x）＜0得到：x-1＜-x且-1＜-x＜1且-1＜x-1＜1，由此求得x的取值范围．

解答 解：（1）依题意得：f（0）=0，即：0=a-$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）∵函数f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$为奇函数，
∴-f（x）=f（-x），
又∵函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数，且满足f（x-1）+f（x）＜0，f（x-1）＜-f（x）=f（-x）
∴x-1＜-x，-1＜-x＜1，-1＜x-1＜1同时满足，
得出：0＜x＜$\frac{1}{2}$．
故x的取值集合为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了奇偶性与单调性的综合，函数奇偶性的性质．该题利用了偶函数与单调性之间的关系构造了关于x的不等式，最后不要忽视结果要写成集合形式．