Question

已知函数f（x）=

b

ax-1

+1（a＞0，a≠1，b∈R）是奇函数，且f（2）=

5

3

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性的性质以及（2）=

5

3

，建立方程关系即可求出a，b的值．
（2）根据定义法即可证明函数单调性．

解答： 解：（1）因为f(2)=

b

a2-1

+1=

5

3

，
所以

b

a2-1

=

2

3

①，
因为函数f（x）是奇函数，
所以f(-2)=

b

a-2-1

+1=-f(2)=-

5

3

，
所以

ba2

1-a2

=-

8

3

②，
由①②可得a=±2（a=-2舍去），所以a=2，b=2．
（2）由（1）可得f(x)=

2

2x-1

+1，
设0＜x₁＜x₂＜+∞，
则f(x1)-f(x2)=(

2

2x1-1

+1)-(

2

2x2-1

+1)=

2(2x2-1)-2(2x1-1)

(2x1-1)(2x2-1)

=

2x2+1-2x1+1

(2x1-1)(2x2-1)

因为0＜x₁＜x₂＜+∞，且y=2^x在（0，+∞）为增函数，
所以2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2+1＞2x1+1
所以

2x2+1-2x1+1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，要求熟练掌握函数的性质及其应用．