Question

圆具有性质：设M、N是圆C：x²+y²=r²关于原点对称的两个点，P是圆C上任意一点，直线PM，PN的斜率k_PM，k_PN存在，则k_PM•k_PN=-1，类比上述性质，在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1中，写出相类似的性质，并给出证明．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k_PM•k_PN=-

b2

a2

．设设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知

m2

a2

+

n2

b2

=1，又设点P的坐标为（x，y），又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．

解答： 解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k_PM•k_PN=-

b2

a2

，
证明如下：设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知

m2

a2

+

n2

b2

=1，
又设点P的坐标为（x，y），
 则k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

∴k_PM•k_PN=

y-n

x-m

，•

y+n

x+m

=

y2-n2

x2-m2

，
将y²=b^2_（1-

x2

a2

），n²=b²（1-

m2

a2

）代入得k_PM•k_PN=-

b2

a2

．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力