Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，其前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

1

an2

}的前n项和为T_n，求证：当n≥3时，T_n＞

3

2

+

1-2n

2n2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2an=an2-an-12+an-an-1，化简得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明T_n＞

3

2

+

1-2n

2n2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵2Sn=an2+an…①，∴2a1=a12+a1，
解得a₁=1或0（舍），
且2Sn-1=an-12+an-1…②，
①-②得2an=an2-an-12+an-an-1，
化简得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵数列{a_n}各项均为正数，∴a_n-a_n-1-1=0，即a_n=a_n-1+1，
∴{a_n}为等差数列，a_n=n，
经检验，a₁=1也符合该式，
∴a_n=n．…（5分）
（Ⅱ）当n≥3时，

Tn= 1 12 + 1 22 + 1 32 +… 1 n2 =1+ 1 2 ( 2 22 + 2 32 +… 2 n2 ) = 1 2 (1+1+ 1 22 + 1 22 + 1 32 + 1 32 +…+ 1 n2 + 1 n2 ) ＞ 1 2 (1+2 1× 1 22 +2 1 22 × 1 32 +…+2 1 (n-1)2 × 1 n2 + 1 n2 ) = 1 2 (1+ 2 1×2 + 2 2×3 +…+ 2 (n-1)×n + 1 n2 ) = 1 2 (1+ 2 1 - 2 2 + 2 2 - 2 3 +…+ 2 (n-1) - 2 n + 1 n2 ) = 1 2 (3- 2 n + 1 n2 )= 3 2 + 1-2n 2n2

∴当n≥3时，T_n＞

3

2

+

1-2n

2n2

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．