Question

已知O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（0，π）
（1）若|

OA

+

OC

|=

13

，求α的值；
（2）

AC

•

BC

=-1，求sinα-cosα的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）求出

OA

，

OC

；计算

OA

+

OC

，由|

OA

+

OB

|=

13

；求出α的值；
（2）求出

AC

，

BC

，由

AC

•

B

C，求出cosα+sinα的值，利用同角的三角函数关系，求出sinα-cosα的值．

解答： 解：（1）∵

OA

=（3，0），

OC

=（cosα，sinα）；
∴

OA

+

OC

=（3+cosα，sinα），
∴|

OA

+

OB

|=

(3+cosα)2+sin2α

=

10+6cosα

=

13

；
∴cosα=

1

2

，
又∵α∈（0，π），∴α=

π

3

；
（2）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴

AC

•

B

C=（cosα-3）•cosα+sinα•（sinα-3）=1-3（cosα+sinα）=-1；
∴cosα+sinα=

2

3

，
∴1+2sinαcosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

；
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα=

(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=

( 2 3 )2-2×(- 5 9 )

=

14

3

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题和三角函数的求值问题，解题时应利用平面向量的坐标运算进行解答，是基础题．