Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0）
（1）当a=2时，求h（x）=f（x）+g（x）的最小值；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），在（0，+∞）上有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）证明：

n

k=1

1

k

＞

nln(2e)

2

-

1

2

ln（n!）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）将a=2带人，得出h（x），利用求导数判断单调性，从而求出最小值．
（2）判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，有无最值，要是最大值，根据条件需限制它大于0，若是最小值需限制它小于0，从而求出a的取值范围．
（3）你可以把要证明的不等式展开，只要证明展开后的不等式即可．通过观察展开后的式子，要用上第一问的结论，这一点很关键，用上这个结论，答案很容易解出了．

解答： 解：（1）a=2时，h（x）=lnx+

2

x

，则h′（x）=

x-2

x2

，所以0＜x＜2时，h′（x）＜0；x＞2时，h′（x）＞0；
所以，h（x）的最小值是h（2）=ln2+1．
（2）h（x）=lnx+

a

x

，则h′（x）=

x-a

x2

，所以x∈（0，a）时，h′（x）＜0；x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0；
所以，x=a时，h（x）取最小值h（a）=lna+1；
∵h（x）在（0，+∞）有两个不同的零点，∴lna+1＜0，∴0＜a＜

1

e

．
（3）要证

n

k=1

1

k

＞

nln(2e)

2

-

1

2

ln(n!)；
即证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n(ln2+1)

2

-

1

2

(ln1+ln2+ln3+…+lnn)
由（1）知：x＞0时，lnx+

2

x

≥ln2+1，当且仅当x=2时取“=”．
∴

1

2

lnx+

1

x

≥

ln2+1

2

即：

1

x

≥

ln2+1

2

-

1

2

lnx；
∴1＞

ln2+1

2

-

1

2

ln1

1

2

≥

ln2+1

2

-

1

2

ln2

1

3

＞

ln2+1

2

-

1

2

ln3
…

1

n

＞

ln2+1

2

-

1

2

lnn
以上各式相加得：

n

k=1

1

k

＞

1

2

ln(n!)．

点评：第一二问都用到了求导数的方法，而第二问求a的取值范围，注意对最值的限制就可以了．最后一问的关键就是用上第一问的结论，这需要你的观察能力．