Question

已知x=1是函数f(x)=2x+

a

x

+lnx的一个极值点，
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数极值和导数之间的关系，建立方程关系即可求a的值；
（2）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（I）因为f(x)=2x+

a

x

+lnx，
所以f′(x)=2-

a

x2

+

1

x

，
因为x=1是f(x)=2x+

a

x

+lnx的一个极值点，
所以f'（1）=0，∴a=3，
经检验，适合题意，所以a=3．
（II）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′(x)=2-

3

x2

+

1

x

=

2x2+x-3

x2

=

(x-1)(x+ 3 2 )

x2

，
由f'（x）＞0，得x＞1，由f（x）＜0，得0＜x＜1
所以函数的单调递减区间为（0，1）单增区间为（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数极值和导数之间的关系以及利用导数研究函数的单调性，综合考查导数的应用．