Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB₁⊥BC，AB∥CD，BC⊥AB且AA₁=AB=AD=2，∠A₁AB=∠DAB=60°．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）求该四棱柱的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AB₁⊥平面A₁BC，只需证明AB₁⊥A₁B，利用四边形ABB₁A₁为菱形即可；
（2）A₁作A₁H⊥AB，垂足为H，则A₁H⊥平面ABCD，从而可求四棱柱的体积．

解答： （1）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABB₁A₁为平行四边形，
∵AA₁=AB，
∴四边形ABB₁A₁为菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵AB₁⊥BC，A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，…（6分）
（2）解：∵BC⊥AB，BC⊥AB₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴平面ABCD⊥平面ABB₁A₁
过A₁作A₁H⊥AB，垂足为H
∴A₁H⊥平面ABCD，…（8分）
∴V=

(1+2)• 3

2

•

3

=

9

2

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的证明，考查四棱柱的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．