Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分别是A₁B₁，AB的中点，求证：
（1）C₁M⊥平面AA₁B₁B；
（2）A₁B⊥AM；
（3）平面AC₁M∥平面B₁NC．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明C₁M⊥平面AA₁B₁B；
（2）根据线面垂直的性质先证明A₁B⊥平面AC₁M，即可证明A₁B⊥AM；
（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC₁M∥平面B₁NC．

解答： 证明：（1）由直棱柱性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，?
又∵C₁M?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥MC₁．?
又∵C₁A₁=C₁B₁，M为A₁B₁中点，∴C₁M⊥A₁B₁．?
又A₁B₁∩A₁A=A₁，∴C₁M⊥平面AA₁B₁B．?
（2）∵C₁M⊥平面A₁ABB₁，
A₁B?平面AA₁B₁B，
∴C₁M⊥A₁B，
∵AC₁⊥A₁B，（已知），
C₁M∩AC₁=C₁，
∴A₁B⊥平面AC₁M，
∵AM?平面AC₁M，
∴A₁B⊥AM．
（3）∵M、N分别是A₁B₁和AB的中点，
A₁B₁=AB，A₁B₁∥AB，
∴MB₁∥AN，MB₁=AN，
∴四边形ANB₁M是平行四边形，
∴B₁N∥AM，
∵M、N分别是A₁B₁和AB的中点，
∴C₁M∥CN，
∵C₁M∩AM=M，CN∩NB=N，
∴平面AMC₁∥平面NB₁C

点评：本题主要考查空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．