Question

已知如图（1），梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=2，E、F分别是AB、CD上的动点，且EF∥BC，设AE=x（0＜x＜2），沿EF将梯形ABCD翻折，使使平面AEFD⊥平面EBCF，如图（2）．

（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由面面垂直的判定定理推出即可；
（2）由f（x）=V_D-BFC=

1

3

×S_△BFC×DH 求出f（x）的解析式，利用基本不等式求出其最大值；
（3）f（x）取得最大值时，EF为中位线，设D在平面EFCB上的射影为H，求出S_△BHF=

1

2

•

1

2

•1=

1

4

，S_△BDF=

1

2

•

5

2

•

13

2

•

56 65

=

14

4

，即可求二面角D-BF-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵平面AEFD⊥平面EBCF，AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，
∴AE⊥BC
∵BE⊥BC，AE∩BE=E，
∴BC⊥平面ABE．
又BC?平面ABCD，
∴平面ABE⊥平面ABCD．  …（4分）
（2）解：∵AD∥平面BFC
∴f（x）=V_D-BFC=

1

3

•

1

2

•2•(2-x)•x≤

1

3

即x=1时f（x）有最大值为

1

3

（3）解：当f（x）取得最大值时，EF为中位线，设D在平面EFCB上的射影为H，则FH=

1

2

，
∴S_△BHF=

1

2

•

1

2

•1=

1

4

，
又△BDF中，BD=

1+1+1

=

3

，DF=

1+ 1 4

=

5

2

，BF=

1+ 9 4

=

13

2

，
∴cos∠BFD=

13 4 + 5 4 -3

2• 13 2 • 5 2

=

3

65

，
∴sin∠BFD=

56 65

，
∴S_△BDF=

1

2

•

5

2

•

13

2

•

56 65

=

14

4

∴二面角D-BF-C的余弦值为

1 4

14 4

=

14

14

．

点评：本题考查求三棱锥的体积，求函数的最大值，求二面角D-BF-C的余弦值，求函数的最大值，是解题的关键．