Question

若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成3：1的两段，过点C（-1，0），斜率k为的直线l交椭圆于不同两点A、B，满足

AC

=2

CB

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当三角形OAB的面积最大时，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由c+

b

2

=3（c-

b

2

），能够求出椭圆的离心率．
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AC

=2

CB

，知2y₂+y₁=0，直线代入椭圆方程得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程．

解答： 解：（1）由题意知，c+

b

2

=3（c-

b

2

），…（2分）
∴b=c，
∴a²=2b²，…（3分）
∴e=

c

a

=

2

2

．…（5分）
（2）设直线l：x=ky-x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AC

=2

CB

，
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），即2y₂+y₁=0，①…（7分）
由（1）知，a²=2b²，∴椭圆方程为x²+2y²=2b²，
直线代入椭圆方程消去x，得（k²+2）y²-2ky+1-2b²=0，
∴y₁+y₂=

2k

k2+2

，…②y₁y₂=

1-2b2

k2+2

，…③
由①②知，y₂=-

2k

k2+2

，y₁=

4k

k2+2

，…（9分）
∵S_△AOB=

1

2

|y₁-y₂|，
∴S=3•

|k|

k2+2

=3•

1

2 |k| +k

≤

3 2

4

=，…（11分）
当且仅当|k|²=2，即k=±

2

时取等号，
又当|k|²=2时，y₁y₂=-1，
∴由y₁y₂=

1-2b2

k2+2

，得b²=

5

2

，
∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 2

=1．…（14分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．