Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD边长为2，侧棱AA₁=6．
（1）点P在侧棱AA₁上，若AP=

1

3

，求证：平面PBD⊥平面C₁BD；
（2）求几何体BA₁C₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC交BD于点O，连结C₁O，PO，证明C₁O⊥BD，C₁O⊥OP，可得C₁O⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面C₁BD；
（2）几何体BA₁C₁D的体积等于正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去4个角落的体积．

解答： （1）证明：连结AC交BD于点O，连结C₁O，PO
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴C₁C⊥平面ABCD且O为BD、AC中点，
∴C₁C⊥CD，C₁C⊥BC
又∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴CD=CB，∴C₁D=C₁B，
∴C₁O⊥BD
又C1O=

( 2 )2+62

=

38

，
PO=

OA2+PA2

=

( 2 )2+( 1 3 )2

=

19 9

，
PC1=

A1P2+A1C12

=

(6- 1 3 )2+(2 2 )2

=

361 9

，
C1O2+PO2=8+

19

9

=

38×9+19

9

=

361

9

=PC12
∴C₁O⊥OP，
∵OP∩BD=0
∴C₁O⊥平面PBD　　　
又∵C₁O?平面C₁BD
∴平面PBD⊥平面C₁BD…（6分）
（2）解：V_BA1C1D等于正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去4个角落的体积，
设正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V
∴V_BA1C1D=V-

1

6

V×4=

1

3

V=

1

3

×2×2×6=8…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，体积的计算，其中熟练掌握面面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．