Question

已知函数f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，-

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）处的切线斜率为-4，
（1）求f（x）的表达式．
（2）求y=f（x）在区间[-3，6]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求f（x）的表达式．
（2）求函数的导数，利用函数的单调性和最值与导数之间的关系，即可求y=f（x）在区间[-3，6]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x³+ax²-bx，
∴f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）图象上的点（1，-

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）处的切线斜率为-4，
∴f′（1）=-4，f（1）=-

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，
∴1+2a-b=-4．①，

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+a-b=-

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，即a-b+4=0．②
由①②解得a=-1，b=3，
∴f（x）=

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x³-x²-3x．
（2）∵f（x）=

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x³-x²-3x．
∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1或3．
∴在x∈[-3，6]上，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-9	单调递增↗	极大值 5 3	单调递减↘	极小值-9	单调递增↗	18

∴当x∈[-3，6]时，f（x）_max=f（6）=18，
f（x）_min=f（3）=f（-3）=-9．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数最值的求解，利用导数在研究函数的应用时解决本题的关键．