Question

设的△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=

1

4

．
（1）求c的值；
（2）求cos（A-C）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosC的值代入即可求出c的值；
（2）由cosC的值求出sinC的值，由正弦定理列出关系式，将a，c，sinC的值代入求出sinA的值，进而求出cosA的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，a=1，b=2，cosC=

1

4

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=1+4-1=4，
则c=2；
（2）∵cosC=

1

4

，
∴sinC=

1-cos2C

=

15

4

，
∵a=1，b=c=2，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：

1

sinA

=

2

15 4

，
解得：sinA=

15

8

，
∵a＜b，∴A＜B，即A为锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

7

8

，
则cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=

7

8

×

1

4

+

15

8

×

15

4

=

11

16

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．