Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}前n项的和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列性质求出首项和公差，由此能求出an=

5

3

n．
（Ⅱ）由bn=

1

5 3 n• 5 3 (n+1)

=

9

25

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}前n项的和为T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设公差为d，
∵公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₃=5且a₁，a₂，a₄成等比数列．
∴

a1+2d=5 (a1+d)2=a1(a1+3d) a1≠0

，
解得：a1=

5

3

，d=

5

3

，得an=

5

3

n（n∈N^*）
（Ⅱ）由题意an=

5

3

n，
∴bn=

1

5 3 n• 5 3 (n+1)

=

9

25

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

9

25

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

9

25

(1-

1

n+1

)
=

9n

25(n+1)

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．