Question

已知矩阵A=

a k 0 1

（k≠0）的一个特征向量为

a

=

k -1

，矩阵A的逆矩阵A^-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．
（1）求实数a，k的值；
（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．

Answer 1

考点：特征值、特征向量的应用

专题：

分析：（1）利用特征值与特征向量的定义，可求a；利用A的逆矩阵A^-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1），可求k的值．
（2）利用矩阵变换，确定坐标之间的关系，即可得到在A对应的变换作用下的新曲线的方程．

解答： 解：设特征向量为

a

=

k -1

，对应的特征值为λ，则

a k 0 1

k -1

=λ

k -1

，即

ak-k=λk λ=1

因为k≠0，所以a=2．
因为A^-1

3 1

=

1 1

，所以A

1 1

=

3 1

，所以2+k=3，解得k=1．
综上，a=2，k=1．
（2）设直线x+2y+1=0上任一点P（x，y）在A对应的变换作用下对应点P'（x'，y'），
∴

2 1 0 1

x y

=

x′ y′

，
∴

x= x′-y′ 2 y=y′

，
代入x+2y+1=0，化简可得x′+3y′+2=0，
∴得到的图形方程为x+3y+2=0．

点评：本题考查矩阵的乘法，矩阵变换，以及特征值与特征向量的计算，确定坐标之间的关系是关键．